Latest News

Rumus De Moivre


Seperti kita ketahui bahwa jikalau z1 = r1 (cos t1 + i sin t1) dan z2 = r2 (cos t2 + i sin t2
maka z1z2 = r1r2 (cos(t1 + t2) + i sin (t1 + t2))  ..............................(1)

Jika 
r1  = r2 = r
t1  = t2 = t
maka 
z1 = z2 = z = r(cos t + i sin t) maka persamaan (1) menjadi

z2 = r2(cos 2t  + i sin 2t)

Sekarang bagaimana dengan z3 ?
misalkan kita mempunyai z3 = r3 (cos t3 + i sin t3) maka
Berdasarkan persamaan (1), jika z2 kita kalikan dengan z3 maka kita peroleh
z3z3 = r3.r3(cos(2t + t3) + i sin (2t + t3)) ....................................(2)

Jika r3 = r dan t3 = t maka z3 = z sehingga persamaan (2) akan menjadi
z2 = r3(cos 3t  + i sin 3t)

Dengan cara yang sama akan kita peroleh
z2 = r4(cos 4t  + i sin 4t)
z5 = r5(cos 5t  + i sin 5t)
dan seterusnya
Jadi dapat diambil kesimpulan bahwa

Jika z = r(cos t + i sin t) maka zn = rn(cos nt  + i sin nt)


Jika t kita ganti dengan -t maka
z = r(cos (-t) + i sin (-t)) = r(cos t - i sin t)
dan   zn = rn(cos (-nt)  + i sin (-nt)) =  rn(cos nt  - i sin nt)

Rumus de Moivre
Jika z = r(cos t + i sin t) maka zn = rn(cos nt  + i sin nt)
Jika z = r(cos t - i sin t) maka zn = rn(cos nt  - i sin nt)


Contoh 1
Jika z = 1 + i maka z10 = .....

Jawab :


maka t = 45o
sehingga


maka


Contoh 2 
Jika z2 = 1 maka z = ....

Jawab :
z2 bisa dinyatakan dalam bentuk
z2 = cos 0o + i sin 0o atau z2 = cos 360o + i sin 360o
dengan menggunakan rumus de moivre maka kita peroleh
z = cos 0o + i sin 0o atau z = cos 180o + i sin 180o
z = 1 + 0 atau z = -1 + 0
z = 1 atau z = -1

Sebenarnya dengan analisis yang sudah biasa kita pakai, maka z2 akan ada 2 kemungkinan adalah 1 atau -1. Akan tetapi dengan menggunakan rumus de moivre ini maka untuk pangkat yang lebih besar akan jauh lebih mudah. Sekarang kita coba untuk z3

Contoh 3
Jika z3 = 1 maka z = ...

Jawab :
z3 dapat kita nyatakan dalam bentuk
z3 = cos 0o + i sin 0o atau z3 = cos 360o + i sin 360o atau z3 = cos cos 720o + i sin 720o
Dengan menggunakan rumus de moivre maka kita peroleh
z1 = cos 0o + i sin 0o atau z2 = cos 120o + i sin 120o atau z3 = cos 240o + i sin 240o




Cara II
z3  - 1 = 0
(z - 1)(z2 + z + 1) = 0
z = 1 atau z2 + z + 1 = 0
dengan menggunakan rumus ABC maka kita peroleh 




0 Response to "Rumus De Moivre"