Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel (SPLTV) sanggup diselesikan dengan beberpa metode, yakni eliminasi, subtitusi, campuran, determinan dan matrix.
A. Metode Eliminasi
Metode eliminasi dilakukan dengan mengeliminasi salah satu variable, sehingga dari SPLTV akan didapat SPLDV. Kemudian dilakukan eleminasi kembali sehingga didapat harga sebuah variable. Untuk lebih jelasnya perhatikan pola dibawah ini.
Diketahui 3 persamaan dibawah ini.
X + 3Y + 2Z = 16 ……….. i
2X + 4Y - 2Z = 12 ……….. ii
X + Y + 4Z = 20 ……….. iii Carilah masing-masing nilai X, Y dan Z?
Langkah 1 :
Eliminasi salah satu variable, carilah salah satu persamaan yang paling mudah. Sebagai pola variable X akan dieliminasi (karena X paling mudah, koefisiennya tidak terlalu besar).
Langkah 2 :
Lakukan operasi terhadap dua buah persamaan, contohnya persamaan 2 dikurangi 2 kali persamaan dua untuk mengeliminasi variable X. Akan didapat persamaan gres (persamaan iv) yang berbentuk SPLDV.
2X + 4Y - 2Z = 12 |x1 | 2X + 4Y - 2Z = 12
X + 3Y + 2Z = 16 |x2 | 2X + 6Y + 4Z = 32 -
- 2Y – 6Z = -20 …….. iv
Langkah 3 :
Lakukan operasi terhadap dua persamaan lainnya. Dalam pola persamaan 3 dikurangi persamaan 1.
X + Y + 4Z = 20
X + 3Y + 2Z = 16 -
- 2Y + 2Z = 4 ………. v
Langkah 4 :
Eliminasi salah satu variable dalam SPLDV (peramaan iv dan v). Misalnya variable Y alasannya yaitu koefisiennya sama.
- 2Y – 6Z = -20
- 2Y + 2Z = 4 -
- 8Z = -24
Z = 3
Langkah 5 :
Subtitusikan nilai Z ke dalam persamaan iv atau v. Pilih persamaan yang paling simple (dalam pola persamaan v). Dilakukan untuk mendapat nilai variable lainnya.
- 2Y + 2Z = 4 -2Y = 4 – 6 Y = 1
- 2Y + (2 . 3) = 4 = -2
Langkah 6 :
Subtitusikan kedua nilai variable yang sudah didapat kedalam persamaan i, ii atau iii untuk mendapat nilai variable ketiga. Sekali lagi pilih persamaan yang paling simple.
X + Y + 4Z = 20 X = 20 -13
X + 1 + (4.3) = 20 X = 7
X + 1 + 12 = 20
Langkah 7 :
Tentukan himpunan pernyelesiannya.
HP = {(7, 1, 3)}
B. Metode Substitusi.
Metode ini dilakukan dengan mensubtitusikan salah satu variable sehingga jumlah variable menjadi berkurang. Ulangi subtitusi sehingga nilai suatu variable didapat.
Untuk lebih jelasnya perhatikan pola yang sama ibarat dibawah ini.
Diketahui 3 persamaan dibawah ini.
X + 3Y + 2Z = 16 ……….. i
2X + 4Y - 2Z = 12 ……….. ii
X + Y + 4Z = 20 ……….. iii Carilah masing-masing nilai X, Y dan Z?
Langkah 1 :
Carilah persamaan yang paling simple. Pindahkan dua buah variable kesebelah kanan, untuk mendapat nilai variable lainnya. Contoh peramaan i, vaiabel Y dan Z dipinhakan ke sebelah kanan. Didapat persamaan gres (persamaan iv).
X + 3Y + 2Z = 16
X = -3Y -2Z + 16 ……. iv
Langkah 2 :
Subtitusikan nilai persamaan gres kedalam persamaan ii. Dilakukan untuk menghilangkan variable disebelah kiri pada persamaan gres (persamaan iv).
2X + 4Y - 2Z = 12
2 (-3Y -2Z + 16) + 4Y - 2Z = 12
-6Y – 4Z + 32 + 4Y - 2Z = 12
-2Y -6Z = 12 -32
-2Y -6Z = -20
Y + 3Z = 10
Y = -3Z +10 ……… v
Langkah 3 :
Ulangi langkah 2 untuk persamaan iii.
X + Y + 4Z = 20
(-3Y - 2Z + 16) + Y + 4Z = 20
-2Y + 2Z = 20 -16
-2Y + 2Z = 4
-Y + Z = 2 ……… vi
Langkah 4 :
Subtitusikan persamaan v kedalam persamaan vi, untuk mendapat nilai variable.
-Y + Z = 2
- (-3Z +10 ) + Z = 2
4Z = 2+10
Z = 3
Langkah 5 :
Subtitusikan nilai Z kedalam persamaan v untuk mendapat niali variable Y.
Y = -3Z +10
= -3 (3) +10
Y = 1
Langkah 6 :
Subtitusikan nilai Z dan Y ke dalam persamaan i, ii atau iii. Pilih yang paling simple untuk mendapat nilai variable terakhir.
X + Y + 4Z = 20
X = -Y – 4Z + 20
= -1 –(4.3) + 20
X = 7
Langkah 7 :
Tentukan himpunan pernyelesiannya.
HP = {(7, 1, 3)}
C. Metode Campuran
Metode Campuran, yaitu gabungan dari metode eliminasi dan metode subtitusi. Untuk lebih memahami metode ini perhatikan pola yang sama ibarat dibawah ini.
Diketahui 3 persamaan dibawah ini.
X + 3Y + 2Z = 16 ……….. i
2X + 4Y - 2Z = 12 ……….. ii
X + Y + 4Z = 20 ……….. iii Carilah masing-masing nilai X, Y dan Z?
Langkah 1 :
Eliminasikan salah satu variable. Lakukan operasi terhadap dua buah persamaan, contohnya persamaan 2 dikurangi 2 kali persamaan satu untuk mengeliminasi variable X. Akan didapat persamaan gres (persamaan iv) yang berbentuk SPLDV.
2X + 4Y - 2Z = 12 |x1 | 2X + 4Y - 2Z = 12
X + 3Y + 2Z = 16 |x2 | 2X + 6Y + 4Z = 32 -
- 2Y – 6Z = -20 …….. iv
Langkah 2 :
Lakukan eliminasi terhadap variable yang sama. Lakukan operasi terhadap dua persamaan lainnya. Dalam pola persamaan 3 dikurangi persamaan 1.
X + Y + 4Z = 20
X + 3Y + 2Z = 16 -
- 2Y + 2Z = 4
- 2Y = - 2Z + 4
Y = Z – 2 ………. v
Langkah 3 :
Subtitusikan persamaan v kedalam persamaan iv untuk mendapat nilai salah satu variable.
- 2Y – 6Z = -20
- 2 (Z – 2 ) – 6Z = -20
- 2Z +4 – 6Z = -20
- 8Z = -24
Z = 3
Langkah 4 :
Substitusikan nilai variable Z kedalam persamaan iv untuk medapatkan nilai variable lainnya.
Y = Z – 2
= 3 – 2
= 1
Langkah 5 :
Subtitusikan kedua nilai variable kedalam persamaan i, ii atau iii. Pilih persamaan yang paling simple.
X + Y + 4Z = 20
X = -Y – 4Z + 20
= -1 – (4.3) + 20
= 7
Langkah 6 :
Tentukan himpunan pernyelesiannya.
HP = {(7, 1, 3)}
D. Metode Determinan
Determinan yaitu suatu bilangan yang didapat dari suatu proses dengan hukum tertentu terhadap matrix bujur sangkar.
Dengan memakai pola ibarat sebelumnya, kita selesikan SPLTV dengan metode ini.
X + 3Y + 2Z = 16 ……….. i
2X + 4Y - 2Z = 12 ……….. ii
X + Y + 4Z = 20 ……….. iii Carilah masing-masing nilai X, Y dan Z?
Langkah 1:
Buat matrix dari persamaan diatas.
Koefisien Var Hasil
/ 1 3 2 \ / X \ / 16 \
| 2 4 -2 | | Y | = | 12 |
\ 1 1 4 / \ Z / \ 20 /
Langkah 2 :
|D| = (1x4x4)+(3x-2x1)+(2x2x1)-(2x4x1) -(3x2x4)-(1x-2x1)
= 16 - 6 + 4 - 8 - 24 +2
= -16
Langkah 3 :
Cari Determinan variable X, dengan mengganti kolom pertama dengan kolom hasil.
|Dx| = (16x4x4) + (3x-2x20) + (2x12x1)- (2x4x20) + (3x12x4) + (16x-2x1)
= 256 - 120 +24 -160 - 144 + 32
= -112
Langkah 4 :
X = |Dx| = - 112 = 7
|D| -16
Langkah 5 :
Cari determinan variable Y, dengan mengganti kolom kedua dengan kolom hasil.
|Dy| = (1x12x4) + (16x-2x1) + (2x2x20) - (2x12x1) - (16x2x4) - (1x-2x20)
= 48 - 32 + 80 - 24 - 128 + 40
= -16
Langkah 6 :
Cari nilai variable Y.
Y = |Dy| = -16 = 1
|D| -16
Langkah 7 :
Cari Determinan variable Z, dengan mengganti kolom ketiga dengan kolom hasil.
= 80 + 36 + 32 - 64 - 120 - 12
Langkah 8 :
Cari nilai variable Z.
Z = |Dz| = -46 = 3
|D| -16
Langkah 9 :
Tentukan himpunan pernyelesiannya.
HP = {(7, 1, 3)}
E. Metode Matrix.
Metode dipakai untuk menyederhanaan penyelesaian SPLTV. Dengan metode ini kita tidak perlu menulis variable. Dalam matrix hanya dituliskan koefisien variable dari masing-masing pesamaan.
Dengan memakai pola ibarat sebelumnya, kita selesikan SPLTV dengan metode ini.
X + 3Y + 2Z = 16 ……….. i
X + 3Y + 2Z = 16 ……….. i
2X + 4Y - 2Z = 12 ……….. ii
X + Y + 4Z = 20 ……….. iii Carilah masing-masing nilai X, Y dan Z?
Langkah 1 :
Ubah peramaan dalam bentux matrix.
Langkah 2 :
Bentuklah matrix sedemikian rupa sehingga hanya ada satu variable bernilai 1 sedang lainnya benilai 0. Ini berlaku untuk baris atau kolom. Sehingga nilai 1 hanya ada satu baik dalam basris maupun kolom. Sedangkan kolom hasil bebas.
Contoh hasil : 1 0 0 hasil , atau 0 1 0 hasil, atau 0 0 1 hasil.
Langkah 3 :
Agar variable X bernilai 0 pada baris kedua, Baris kedua harus dikurangi 2 kali baris pertama ditulis II – 2 I.
Agar variable X bernilai 0 pada baris kedua, Baris kedua harus dikurangi 2 kali baris pertama ditulis II – 2 I.
Langkah 4 :
Agar variable X bernilai 0 pada baris ketiga, Baris ketiga harus dikurangi baris pertama ditulis III – I.
Langkah 5 :
Langkah 5 :
Agar variable Y bernilai 0 pada baris kedua maka II – III.
Langkah 6 :
Untuk menyederhanakan matrix, maka dilakukan penyederhanaan nilai.
Langkah 7 :
Agar variable Y bernilai 0 pada baris pertama maka I – 3 III.
Agar variable Y brnilai 0 pada baris pertama maka I – 5 II.
Agar variable Z bernilai 0 pada baris ketiga maka III + II
Langkah 9 :
Tentukan himpunan pernyelesiannya.
Dari matrik didapat X =7 (baris I), Z = 3 (baris II) dan Y = 1 (baris III)
HP = {(7, 1, 3)}
0 Response to "Matematika Sma-10 : Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel (Spltv)"